1943-ban született Budapesten, a család­ban több hivatásos komolyzenész volt. Fes­tőművész-grafikus, tanár apja maga is hegedült, édesanyja viszont egyetlen hangot sem hallott Szabolcs és két évvel fiatalabb öccse, Levente muzsikálásából, lévén halláskárosult. A két fiú hegedülni tanult Levente keresztanyjától, az Operaház hegedűmű­vé­szétől, de egyikük sem rajongott ezért a hangszerért. A szerény körülmények között élő szülők a testvéreket 1956 szeptemberében a szobi állami fiúnevelő intézetbe íratták. Itt jól tanultak, bár jól nem érezték magukat, örömet csak az okozott nekik, hogy bekerültek az intézet mandolinzenekarába. Szabolcs gitározni kezdett, később basszusgitárra váltott, és maradt is ennél a hangszernél. Két év után Vácra került a gimnáziumba, ahová Levente is követte, itt alakítottak egy triót. Az akusztikus hangszerekből házilag fabrikáltak elektromost, az együttessel 1962-ben az országos Ki Mit Tud?-on az elődöntőig jutottak. Szabolcs érettségi után a Budapesti Műszaki Egyetemre felvételizett, a vasútközlekedés-mérnöki szakra, de nem vették fel. 1964 nyarán a siófoki Matróz csárdában játszott egy zene­karban napi száz forintért, ami akkor nem kis pénz volt.
A már évek óta működő Illés együttesbe Levente vitte, az Illés klasszikussá vált felállása (a két Szörényi testvéren kívül a billentyűs hangszereken játszó Illés Lajos, a gitáros Bródy János és a dobos Pásztory Zoltán) 1965-re alakult ki. Az év nyarán a nógrádverőcei ifjúsági táborban játszottak, itt születtek meg az első magyar nyelvű beatdalok: Az utcán, Óh, mondd. Még az év során elkészült az első magyar nyelvű beat-kislemez (Táskarádió), Koncz Zsuzsa a tévében elénekelte Rohan az idő című dalukat. 1966-ban az I. Tánc­dalfesztiválon a megosztott második díjat nyerő Még fáj minden csók című számuk a közönséget is megosztotta, de az 1968-as fesztiválról szinte minden díjat elhoztak a fődíjjal együtt az Amikor én még kissrác voltam című, népzenei gyökerű szerzeményükkel. (A két testvér egyik nagyanyja szerb származású volt, innen a délszláv zenei hatás.)
Az Illés együttes a hatvanas évek második felében és a hetvenes évek elején hihetetlen népszerűségre tett szert, csak az Omega és a Metró volt a vetélytársuk. Dalaik jó része a slágerlisták élmezőnyébe került, koncertjeiket őrjöngő siker jellemezte. Szá­maik zömét Szörényi Le­vente és Illés Lajos szerezte, a Bródy János által írt, gyakran áthallásos, politikailag kényes szövegek az előző generáció magatartásmintái ellen lá­zadó ifjúság életérzéseit fejezték ki.
Szörényi Szabolcs ritkán jelentkezett szerzőként, de ő írta az Illésnek többek között az Újra itt van, a Sárika, Az ész a fontos, nem a haj című dalt (utóbbit ő maga énekelte) és Koncz Zsuzsa egyik legnagyobb slágerét, a Miszter Alkoholt. Az Illésben minden tekintetben testvére, Levente vitte a prímet, Szabolcs inkább a háttérbe húzódva, többnyire egy létra tetején ülve támogatta kíséretével a többieket. Illés Lajos szerint Szabolcs volt a legjobb fülű a zenekarban. Az Illés népszerűsége ellenére állandó nyomás alatt dolgozott, a hatalom megpróbálta kontrollálni, kordában tartani a zenekart, egyben felhasználni az ifjúság megnyerésére. Rendre kifogásolták szövegeiket, nyilatkozataikat és viselkedésüket, 1970-ben Budapesten nem léphettek fel, így lettek akkor „a vidék legjobb zenekara”. Illés Lajos végül belefáradt a hercehurcákba és 1973 végén feloszlatta a zenekart.
Szörényi Szabolcs 1974-ben testvérével és Bródyval a hattagú Fonográf együttes tagja lett, ez a sokrétű, igényes zenét többszólamú vokállal megszólaltató zenekar egy évtizeden át dolgozott. 1984-ben a három telt házas búcsúkoncert gyakorlatilag Szörényi Szabolcs színpadi visszavonulását is jelentette. Persze, ott volt az Illés 1990-es, 1996-os, 2001-es fellépésein, ahogy a végső búcsúnak számító 2005-ös koncerteken is. 1990-ben jelent meg első szólóalbuma Kocsmadalok alcímmel, ezen a Lökd ide a sört! című Fonográf-sláger is hallható. Zenei rendezőként számos színpadi produkcióban és lemezen működött közre, például az idén harmincéves István, a király kétmillió példányban eladott eredeti hanganyagán.
Jó ideje hobbijának, a vasúti terepasztal-készítésnek él. Gyermekkorában hiába vágyott rá, nem kaphatott villanyvonatot, első vasútmodelljét az 1965 nyarán Nógrádverő­cén kapott gázsijából vette meg. Azóta több vasúti csomópont, egyebek között a teljes Nyugati pályaudvar körzetének makettjét építette fel, erről tévéfilm is készült Szörényi Szabolcs forgalmista birodalma címmel.
Szörényi Szabolcs 2000-ben kapta meg a Kossuth-díjat, megosztva az egykori Illés együttes tagjaival, 2012-ben Budapestért Díjat vehetett át. Nem kizárt, hogy jövőre újra a nyakába veszi hangszerét, ha az akkor 40 éves Fonográf esetleg fellép.